47. Probability

확률론(Probability Theory)은 PS에서 자주 나오는 분야는 아니지만 관련 문제를 풀기 위해서는 기본적인 지식이 약간은 필요하다. 먼저 확률 관련 용어들의 정의는 다음과 같다.

• 실험(Experiment)은 관측 또는 그 절차를 의미하며, 실험의 결과로 나올 수 있는 가장 기본적인 결과를 근원사건(근원사상, Elementary Event)이라고 한다.
• 어떤 특성을 갖는 근원사건의 모임을 사건(사상, Event)이라고 한다.
• 어떤 조건 아래에서 특정한 사건 $A$가 일어날 가능성의 정도를 사건 $A$가 발생할 확률(Probability)이라고 하고, $\color{#0000FF}{P(A)}$로 나타낸다.
• 사건 $A$가 발생하지 않는 사건을 사건 $A$의 여사건(Complementary Event)이라고 하며 $\color{#0000FF}{A^C}$로 나타낸다.
• 두 사건 $A, B$에 대하여 $A$와 $B$가 모두 일어나는 사건을 $A$와 $B$의 곱사건(Product Event)이라고 하며 $\color{#0000FF}{A \cap B}$로 나타낸다. 또한 $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건을 $A$와 $B$의 합사건(Sum Event)이라고 하며 $\color{#0000FF}{A \cup B}$로 나타낸다. $A \cap B=\varnothing$일 때 $A$와 $B$를 서로 배반사건(Exclusive Event)이라고 한다.
• 사건 $A$가 발생했을 때 사건 $B$가 발생할 확률을 조건부 확률(Conditional Probability)이라고 하며 $\color{#0000FF}{P(B|A)}$로 나타낸다.

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문제를 풀 때 많이 이용되는 개념 중 하나는 사건의 독립(Independent)이다. 두 사건 $A$와 $B$가 독립이라는 것은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건이 발생할 확률에 영향을 주지 않는다는 의미이다. 두 사건 $A, B$가 독립일 때 $P(A|B)=P(A)$이고 $P(B|A)=P(B)$이다. 문제를 풀 때 등장하는 여러 개의 사건이 독립일 경우 그것들을 각각 따로 처리하면 문제를 더 간단하게 풀 수 있는 경우가 존재한다.

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베이즈 정리(베이즈 법칙, Bayes' Theorem)도 알아 두면 좋은 개념이다. 베이즈 정리의 내용은 기존 사건들의 확률을 알 때 그것을 바탕으로 조건부확률을 구할 수 있다는 것이다. $k$개의 배반사건 $A_1, A_2, \ldots, A_k$와 다른 사건 $E$가 존재하고 각각의 사건이 발생할 확률이 $0$보다 클 때 $P(A_i|E)$를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$P(A_i|E)=\frac{P(A_i \cap E)}{P(E)}=\frac{P(A_i)P(E|A_i)}{\sum_{j=1}^k P(A_j)P(E|A_j)}$$

즉 사건 $E$가 발생할 확률을 각각의 사건 $A_1, A_2, \ldots, A_k$에 대한 조건부확률로 구한 다음 그중 사건 $A_i$가 발생했을 때의 확률만을 사건 $E$가 발생하는 확률로 나눠 주는 것이다. 사건 $E$에 대한 직접적인 확률을 구하기 어려운 경우 이 방법으로 조건부확률을 구할 수 있다.

 

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